Question

4．銷售甲，乙兩種商品所得到利潤與投入資金x（萬元）的關系分別為f（x）=m$\sqrt{x+1}+a$，g（x）=bx（其中m，a，b∈R），函數f（x），g（x）對應的曲線C₁，C₂，如圖所示．
（1）求函數f（x）與g（x）的解析式；
（2）若該商場一共投資4萬元經銷甲，乙兩種商品，求該商場所獲利潤的最大值．

Answer 1

分析 （1）分別將點（0，0）、（8，$\frac{8}{5}$）代入f（x），（8，$\frac{8}{5}$）代入g（x）計算即可；
（2）設銷售甲商品投入資金x萬元，則乙投入（4-x）萬元，代入（1）中各式，再令$\sqrt{x+1}$=t，問題轉化為關于t的二次函數，通過配方法即得最大值．

解答 解：（1）根據題意，得$\left\{\begin{array}{l}{m+a=0}\\{3m+a=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
解得$m=\frac{4}{5}$，$a=-\frac{4}{5}$，
所以f（x）=$\frac{4}{5}\sqrt{x+1}-\frac{4}{5}$  （x≥0），
又由題意知$8b=\frac{8}{5}$，即$b=\frac{1}{5}$，
所以g（x）=$\frac{1}{5}x$ （x≥0）；
（2）設銷售甲商品投入資金x萬元，則乙投入（4-x）萬元，
由（1）得y=$\frac{4}{5}\sqrt{x+1}-\frac{4}{5}$+$\frac{1}{5}（4-x）$ （0≤x≤4），
令$\sqrt{x+1}$=t，則$1≤t≤\sqrt{5}$，
故$y=-\frac{1}{5}{t}^{2}+\frac{4}{5}t+\frac{1}{5}$=$-\frac{1}{5}（t-2）^{2}+1$  （$1≤t≤\sqrt{5}$），
當t=2即x=3時，y取最大值1，
答：該商場所獲利潤的最大值為1萬元．

點評 本題考查數形結合、還原法、配方法，將圖象中的點代入解析式是解題的關鍵，屬于中檔題．