Question

12．定義一個(gè)對(duì)應(yīng)法則g：O′（m，n）→O（$\sqrt{m}$，n）（m≥0），現(xiàn)有點(diǎn)A′（1，-3）與B′（9，5），點(diǎn)M′是線(xiàn)段A′B′上一動(dòng)點(diǎn)，按定義的對(duì)應(yīng)法則g：M′→M，當(dāng)點(diǎn)M′在線(xiàn)段A′B′上從點(diǎn)的A′開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B′結(jié)束時(shí)，則點(diǎn)M′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M所形成的軌跡與x軸圍成的面積為4．

Answer 1

分析 先求M的軌跡，要根據(jù)點(diǎn)M與點(diǎn)M′的關(guān)系用代入法點(diǎn)M的軌跡方程，此方法特點(diǎn)是先設(shè)出點(diǎn)M'的坐標(biāo)為（x，y），用之表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足的方程，得到點(diǎn)M'的橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，即軌跡為M，再由定積分其面積．

解答 解：A′B′的斜率k=$\frac{-3-5}{1-9}=\frac{8}{8}=1$，
直線(xiàn)l為A′B′：y+3=x-1，則y=x-4，且1≤x≤9
A′B′上的一點(diǎn)（x，y）通過(guò)法則變（x′，y′），
則y′=y，x′=$\sqrt{x}$，
故x=x′²，y′=x′²-4，1≤x′≤3
所求面積S=∫${\;}_{1}^{2}$（4-x²）dx+${∫}_{2}^{3}$（x²-4）dx=（4x-$\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{1}^{2}$+（$\frac{1}{3}{x}^{3}$-4x）|${\;}_{2}^{3}$=4

點(diǎn)評(píng) 本題考查代入法求軌跡方程，根據(jù)對(duì)應(yīng)法則求出對(duì)應(yīng)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．