Question

13．已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，設(shè)平面向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（cosC，c-2b），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（2a，1）且$\overrightarrow{{e}_{1}}⊥\overrightarrow{{e}_{2}}$
（1）求角A
（2）若a=2，求△ABC的周長L的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，由正弦定理和兩角和的正弦公式，計(jì)算即可得到；
（2）運(yùn)用余弦定理和基本不等式，結(jié)合二次不等式的解法即可求得周長的范圍．

解答 解：（1）由平面向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（cosC，c-2b），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（2a，1）
且$\overrightarrow{{e}_{1}}⊥\overrightarrow{{e}_{2}}$，
則$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=0，
即為2acosC+c-2b=0，
由正弦定理可得，
2sinAcosC+sinC-2sinB=0，
2sinAcosC-2sin（A+C）+sinC=0，
即有-2cosAsinC+sinC=0，
則cosA=$\frac{1}{2}$，
由A為三角形的內(nèi)角，
則A=60°；
（2）由余弦定理可得，
a²=b²+c²-2bccosA，
代入a=2，A=60°，
即有b²+c²-bc=4，
令t=b+c，則t²=4+3bc
由bc≤$\frac{（b+c）^{2}}{4}$=$\frac{{t}^{2}}{4}$，
則t²≤4+$\frac{3{t}^{2}}{4}$，
即有0＜t≤4．
則△ABC的周長L=a+b+c的范圍是（2，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量垂直的條件：數(shù)量積為0，同時(shí)考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，以及基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．