Question

【題目】如圖，點為某沿海城市的高速公路出入口，直線為海岸線，，，是以為圓心，半徑為的圓弧型小路.該市擬修建一條從通往海岸的觀光專線，其中為上異于的一點，與平行，設.

（1）證明：觀光專線的總長度隨的增大而減小；

（2）已知新建道路的單位成本是翻新道路的單位成本的2倍.當取何值時，觀光專線的修建總成本最低？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）.

【解析】試題分析：（1）利用扇形弧長公式求出 ，利用直角三角形邊角關系求出 ，則總長為 ，求出 為減函數，命題得證.（2）設單位成本為 ，則總成本為，，求出，求出，分兩區(qū)間 討論的單調性，以證明為極小值點.

試題解析：

（1）由題意，，所以，

又，

所以觀光專線的總長度

，，

因為當時，，

所以在上單調遞減，

即觀光專線的總長度隨的增大而減小.

（2）設翻新道路的單位成本為，

則總成本 ，，

，

令，得，因為，所以，

當時，，當時，.

所以，當時，最小.

答：當時，觀光專線的修建總成本最低.