Question

【題目】已知某條地鐵線路通車后，地鐵的發(fā)車時間間隔為t（單位：分鐘），并且．經(jīng)市場調(diào)研測算，地鐵載客量與發(fā)車時間間隔t相關(guān)，當(dāng)時，地鐵為滿載狀態(tài)，載客量為450人；當(dāng)時，載客量會減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時的載客量為258人，記地鐵載客量為（單位：人）．

（1）求的解析式，并求當(dāng)發(fā)車時間間隔為5分鐘時，地鐵的載客量．

（2）若該線路每分鐘的利潤為（單位：元），問當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的利潤最大？

Answer 1

【答案】（1），載客量為375人，（2）15分鐘

【解析】

(1)根據(jù)題設(shè)設(shè)出的表達(dá)式，根據(jù)求出的值，即可得出的解析式，求出即可得出發(fā)車時間間隔為5分鐘時，地鐵的載客量；

(2)由的解析式得出的解析式，利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及反比例函數(shù)的性質(zhì)得出的單調(diào)性，比較兩段的最大值，即可得出線路每分鐘的利潤最大時，發(fā)車時間間隔.

（1）由題意知（k為常數(shù)）．

因為，得，

所以

所以，即當(dāng)發(fā)車時間間隔為5分鐘時，地鐵的載客量為375人．

（2）由可得

當(dāng)時，，

任取，且，

則．

因為，所以，

所以，

所以在上為增函數(shù)，最大值為．

當(dāng)時，，

當(dāng)時等號成立，所以當(dāng)發(fā)車時間間隔為15分鐘時，該線路每分鐘的利潤最大，最大值為80元．