Question

已知集合A={﹙x，y﹚|

m

2

≤﹙x-2﹚²+y²≤m²，x，y∈R}，B={﹙x，y﹚|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B=∅，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算

專(zhuān)題：直線與圓,集合

分析：由已知集合A={﹙x，y﹚|

m

2

≤﹙x-2﹚²+y²≤m²，x，y∈R}，B={﹙x，y﹚|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B=∅，分A=∅和A≠∅兩種情況進(jìn)行討論，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：當(dāng)

m

2

＞m²，即m∈（0，

1

2

）時(shí)，集合A=∅，滿足A∩B=∅，
當(dāng)m=0時(shí)，集合A={（2，0）}，B=[0，1]，滿足A∩B=∅，
當(dāng)m＜0時(shí)，集合A表示圓﹙x-2﹚²+y²=m²內(nèi)部（包括邊界）上的所有的點(diǎn)，
由A∩B=∅，可得圓心（2，0）到直線x+y-2m=0和直線x+y-2m-1=0的距離均大于半徑-m，
即

|2-2m| 2 ＞-m |2-2m-1| 2 ＞-m

，解得m＜1-

2

2

，或m＞2+

2

，
∴m＜0
當(dāng)m=

1

2

時(shí)，集合A表示圓﹙x-2﹚²+y²=

1

4

上的所有的點(diǎn)，此時(shí)A∩B≠∅，
當(dāng)m＞

1

2

時(shí)，集合A表示圓環(huán)

m

2

≤﹙x-2﹚²+y²≤m²，內(nèi)部（包括邊界）上的所有的點(diǎn)，
由A∩B=∅，可得圓心（2，0）到直線x+y-2m=0和直線x+y-2m-1=0的距離均大于外圓半徑m，
即

|2-2m| 2 ＞m |2-2m-1| 2 ＞m

，解得m＜1-

2

2

，或m＞2+

2

，
∴m＞2+

2

，
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為m＜

1

2

，或m＞2+

2

，
故答案為：m＜

1

2

，或m＞2+

2

點(diǎn)評(píng)：本題以集合的交集運(yùn)算為載體，考查了直線與圓的位置關(guān)系，運(yùn)算強(qiáng)度大，分類(lèi)復(fù)雜，屬于難題．