Question

已知函數(shù)f﹙x﹚=a-

2

2x+1

，a∈R，若a=1，當(dāng)x∈[1，+∞﹚時，有tf﹙x﹚≤2^x-2恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先將a=1時的原函數(shù)進行化簡，代入不等式，結(jié)合已知的x范圍，可以判定f（x）＞0恒成立，再將t分離出來，此時只需t小于或等于右邊函數(shù)式的最小值即可，求該函數(shù)的最小值時，將2^x-1換元成t可能更好．

解答： 解：將a=1代入函數(shù)f﹙x﹚=a-

2

2x+1

，得f（x）=1-

2

2x+1

，因為x≥1，所以2^x+1≥3，則

2

2x+1

∈（0，1），所以f（x）＞0，
所以要使x∈[1，+∞﹚時，有tf﹙x﹚≤2^x-2恒成立，
只需t≤

2x-2

f(x)

 （x≥1）恒成立即可，將f（x）代入化簡后得t≤

(2x+1)(2x-2)

2x-1

，令m=2^x-1∈[1，+∞），
則問題轉(zhuǎn)化為t≤m-

2

m

+1，m∈[1，+∞）時恒成立，又因為t=m-

2

m

+1在[1，+∞）上是增函數(shù)，
所以t≤(m-

2

m

+1)min=(1-2+1)=0，符合題意．
故t的范圍是（-∞，0]．

點評：本題考查了不等式恒成立問題，先分離參數(shù)（能分離盡量分離），然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，要注意中間用換元法時中間量的范圍．