Question

已知p：關(guān)于x的方程x²-3ax+2a+1=0的兩根均大于3，q：A={x|x²-2x+a＞0}且1∉A，
（1）求使p成立的充要條件；
（2）若p∨q為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：（1）設(shè)x₁，x₂是方程x²-3ax+2a+1=0的兩根，則p：關(guān)于x的方程x²-3ax+2a+1=0的兩根均大于3?

(x1-3)(x2-3)＞0 △＞0 - -3a 2 ＞3

，解得a即可．
（2）對于q：A={x|x²-2x+a＞0}且1∉A，若1∈A，則1-2+a＞0，a＞1．由于1∉A，可得a≤1．由于p∨q為真命題，可得p，q至少有一個是真命題．即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)x₁，x₂是方程x²-3ax+2a²+1=0的兩根，
則p：關(guān)于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的兩根均大于3?

(x1-3)(x2-3)＞0 △＞0 - -3a 2 ＞3

，解得a＞2．
∴使p成立的充要條件是a＞2．
（2）對于q：A={x|x²-2x+a＞0}且1∉A，
若1∈A，則1-2+a＞0，a＞1．
∵1∉A，∴a≤1．
∵p∨q為真命題，
∴p，q至少有一個是真命題．
∴實數(shù)a的取值范圍是a≤1，或a＞2．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、簡易邏輯的有關(guān)知識，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．