Question

等比數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，a₄=16．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n．
（2）記b_n=log₂a_n，求{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由已知條件得2q³=16，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n．
（2）由b_n=log₂a_n=n，得

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₁=2，a₄=16，∴2q³=16，解得q=2，
∴an=2•2n-1=2n，
S_n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2．（6分）
（2）∵b_n=log₂a_n，an=2n，∴b_n=n（8分），

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，（10分）
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．