Question

4．求下列函數(shù)的值域．
（1）y=$\sqrt{x}$+1；
（2）y=2x+4$\sqrt{1-x}$；
（3）y=$\frac{2x}{3x-4}$；
（4）y=$\frac{x^2+4x-5}{x^2-3x+2}$；
（5）y=$\frac{x^2+4x-5}{x^2-x+2}$；
（6）y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，0＜x＜1}\\{x，x≥1}\end{array}\right.$；
（7）y=|x+1|+|x-2|．

Answer 1

分析 （1）直接由函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域；
（2）利用換元法求函數(shù)的值域；
（3）把函數(shù)解析式變形，借助于反比例函數(shù)的值域求得答案；
（4）（5）利用判別式法求函數(shù)的值域；
（6）由題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案；
（7）由絕對值的幾何意義求得函數(shù)值域．

解答 解：（1）函數(shù)y=$\sqrt{x}$+1的定義域為[0，+∞），又函數(shù)為增函數(shù)，∴其值域為[1，+∞）；
（2）令$\sqrt{1-x}=t（t≥0）$，則x=1-t²，∴y=2x+4$\sqrt{1-x}$可化為g（t）=-2t²+4t+2=-2（t-1）²+4≤4，
∴函數(shù)y=2x+4$\sqrt{1-x}$的值域為（-∞，4]；
（3）由y=$\frac{2x}{3x-4}$=$\frac{\frac{2}{3}（3x-4）+\frac{8}{3}}{3x-4}=\frac{8}{3（3x-4）}+\frac{2}{3}$，
∵$\frac{8}{3（3x-4）}≠0$，∴y$≠\frac{2}{3}$，即y=$\frac{2x}{3x-4}$的值域為（$-∞，\frac{2}{3}$）∪（$\frac{2}{3}，+∞$）；
（4）由y=$\frac{x^2+4x-5}{x^2-3x+2}$，得（y-1）x²-（3y+4）x+2y+5=0．
當(dāng)y=1時，方程化為7x=7，x=1；
當(dāng)y≠1時，由△=[-（3y+4）]²-4（y-1）（2y+5）≥0，得（y+6）²≥0，∴y≠1．
綜上，函數(shù)y=$\frac{x^2+4x-5}{x^2-3x+2}$的值域為R；
（5）由y=$\frac{x^2+4x-5}{x^2-x+2}$，得（y-1）x²-（y+4）x+2y+5=0．
當(dāng)y=1時，方程化為5x=7，即x=$\frac{7}{5}$；
當(dāng)y≠1時，由△=（y+4）²-4（y-1）（2y+5）≥0，解得：$-\frac{18}{7}≤y≤2$且y≠1．
綜上，函數(shù)y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，0＜x＜1}\\{x，x≥1}\end{array}\right.$的值域為[$-\frac{18}{7}，2$]；
（6）函數(shù)y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，0＜x＜1}\\{x，x≥1}\end{array}\right.$的圖象如圖：

∴函數(shù)y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，0＜x＜1}\\{x，x≥1}\end{array}\right.$的值域為[1，+∞）；
（7）由絕對值的幾何意義可知，y=|x+1|+|x-2|為數(shù)軸上的動點x到兩定點-1、2的距離和，
∴函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的最小值為3，即y=|x+1|+|x-2|的值域為[3，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的值域及其求法，訓(xùn)練了利用換元法和判別式法求函數(shù)的值域，是中檔題．