已知圓是C：（x+
3
）2+y2=16，點N（
3
，0），Q是圓C上的一動點，QN的垂直平分線交CQ于點M，設點M的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程；
（2）過點P（1，0）的直線l交軌跡E于兩個不同的點A，B，△AOB（O是坐標原點）的面積為S，求面積S的最大值，并求出面積最大時直線AB的方程．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由已知條件推導出軌跡E是以N（
3
，0），C（-
3
，0）為焦點，長軸為4的橢圓，由此能求出軌跡E方程．
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），設直線AB方程為x=my+1，由
x2+4y2=4
x=my+1
，得（4+m2）y2+2my-3=0，由此利用韋達定理、函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合已知條件能求出面積S的最大值，并求出面積最大時直線AB的方程．
解答： 解：（1）∵圓C：（x+
3
）2+y2=16，點N（
3
，0），
Q是圓C上的一動點，QN的垂直平分線交CQ于點M，點M的軌跡為E，
∴|MC|+|MN|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4＞2
3
，
∴軌跡E是以N（
3
，0），C（-
3
，0）為焦點，長軸為4的橢圓，
∴軌跡E方程為
x2
4
+y2=1．（4分）
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），
由題意，直線的斜率不可能為零，設直線AB方程為x=my+1，
由
x2+4y2=4
x=my+1
，得（4+m2）y2+2my-3=0，
由韋達定理得
y1+y2=
-2m
4+m2
y1y2=-
3
4+m2
，
S=
1
2
|OP||y1-y2|=
1
2
(y1+y2)2-4y1y2
=
2
m2+3
m2+4
，（8分）
設t=
m2+3
，t≥
3
，S=
2t
t2+1
=
2
t+
1
t
，u=t+
1
t
，
在t∈[
3
，+∞）上是增函數(shù)，
t=
3
時，μmin=
4
3
3
，Smax=
3
2
，直線AB的方程為x=1．（12分）
點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)的單調(diào)性的合理運用．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列四個命題，其中錯誤的命題是（　�。�
①若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，則△ABC是等邊三角形
②若sinA=cosB，則△ABC是直角三角形；
③若cosAcosBcosC＜0，則△ABC是鈍角三角形；
④若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰三角形．
A、①②B、③④C、①③D、②④

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一個骰子投擲2次，得到的點數(shù)分別為a，b，求直線y=a-b與函數(shù)y=sinx圖象所有交點中相鄰兩個交點的距離都相等的概率．

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國家標準規(guī)定：輕型汽車的氮氧化物排放量不得超過80mg/km．根據(jù)這個標準，檢測單位從某出租車公司運營的A、B兩種型號的出租車中分別抽取6輛，對其氮氧化物的排放量進行檢測，檢測結(jié)果記錄如下：（單位：mg/km）
A 85 80 85 60 90
B 70 x 95 y 75
由于表格被污損，數(shù)據(jù)x看不清，統(tǒng)計員只記得A、B兩種出租車的氮氧化物排放量的平均值相等，且方差分別記為sA2，sB2．
（1）求x及sB2的值；
（2）從被檢測的6輛B種型號的出租車中任取3輛，記“氮氧化物排放量未超過80mg/km”的車輛數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在三棱錐P-ABC中，已知PA=PB，∠ABC為直角，點D，E分別為PB，BC的中點．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）若F在線段AC上，且
AF
FC
=
1
2
，求證：AD∥平面PEF．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知極點為直角坐標系的原點，極軸為x軸正半軸且單位長度相同的極坐標系中，直線l：ρcos（θ-
π
4
）=
2
2
與直角坐標系中的曲線C：
x=cosθ
y=
2
sinθ
（θ為參數(shù)），交于A、B兩點．
（Ⅰ）求直線l在直角坐標系下的方程；
（Ⅱ）求點M（-1，2）與A、B兩點的距離之積|MA||MB|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念，記交通指數(shù)為T．其范圍為[0，10]，分別有五個級別：T∈[0，2）暢通；T∈[2，4）基本暢通；T∈[4，6）輕度擁堵；T∈[6，8）中度擁堵；T∈[8，10）嚴重擁堵．在晚高峰時段（T≥2），從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示．

（1）在這20個路段中，輕度擁堵、中度擁堵的路段各有多少個？
（2）從這20個路段中隨機抽出3個路段，用X表示抽取的中度擁堵的路段的個數(shù)，求X的分布列及期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若α，β為兩個不同的平面，m、n為不同直線，下列推理：
①若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則直線m⊥n；
②若直線m∥平面α，直線n⊥直線m，則直線n⊥平面α；
③若直線m∥n，m⊥α，n?β，則平面α⊥平面β；
④若平面α∥平面β，直線m⊥平面β，n?α，則直線m⊥直線n；
其中正確說法的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x），x∈R，對任意x1、x2∈R，均有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），又x＞0時，f（x）＜0，f（1）=a，試判斷函數(shù)f（x）在[-3，3]上是否有最值．

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