Question

如圖所示，在△DEM中，＝(0，－8)，N在y軸上，且點E在x軸上移動．

(1)求點M的軌跡方程；

(2)過點F(0,1)作互相垂直的兩條直線l₁、l₂，l₁與點M的軌跡交于點A、B，l₂與點M的軌跡交于點C、Q，求的最小值．

 

Answer 1

　(1)設M(x，y)，E(a,0)，由條件知D(0，－8)，

∵N在y軸上且N為EM的中點，∴x＝－a，

∵＝(－a，－8)·(x－a，y)＝－a(x－a)－8y＝2x²－8y＝0，∴x²＝4y(x≠0)，

∴點M的軌跡方程為x²＝4y(x≠0)．

(2)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(x₃，y₃)，Q(x₄，y₄)，直線l₁：y＝kx＋1(k≠0)，則直線l₂：y＝－x＋1，

由消去y得，x²－4kx－4＝0，

∴x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－4，

由消去y得，x²＋x－4＝0，

∴x₃＋x₄＝－，x₃x₄＝－4.

∵A、B在直線l₁上，∴y₁＝kx₁＋1，y₂＝kx₂＋1，

∵C、Q在直線l₂上，∴y₃＝－x₃＋1，y₄＝－x₄＋1.

∴＝(x₃－x₁，y₃－y₁)·(x₂－x₄，y₂－y₄)

＝(x₃－x₁)(x₂－x₄)＋(y₃－y₁)·(y₂－y₄)

＝(x₃－x₁)(x₂－x₄)＋(－x₃－kx₁)(kx₂＋x₄)

＝x₃x₂－x₁x₂－x₃x₄＋x₁x₄－x₂x₃－k²x₁x₂－x₃x₄－x₁x₄

＝(－1－k²)x₁x₂＋(－1－)x₃x₄＝4(1＋k²)＋4(1＋)＝8＋4(k²＋)≥16等號在k²＝時取得，

即k＝±1時成立．∴的最小值為16.