Question

7．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率等于$\frac{1}{2}$，它的一個頂點恰好是拋物線x²=8$\sqrt{3}$y的焦點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點P（2，3），Q（2，-3）在橢圓上，A，B是橢圓上位于直線PQ兩惻的動點，若直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$，求四邊形APBQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）設(shè)出題意方程，它的一個頂點恰好是拋物線x²=8$\sqrt{3}$y的焦點，可求b，利用離心率為$\frac{1}{2}$，解得a即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)出坐標(biāo)A，B，直線AB的方程為$y=\frac{1}{2}x+t$，代入橢圓方程，整理后由得t的范圍，由韋達(dá)定理得求得|x₁-x₂|，從而可求四邊形APBQ的面積，即可解得當(dāng)t=0，四邊形APBQ面積的最大值．

解答 （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
則$b=2\sqrt{3}$．
由$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}，{a^2}={c^2}+{b^2}$，得a=4，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為$y=\frac{1}{2}x+t$，
代入$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，
得x²+tx+t²-12=0，
由△＞0，解得-4＜t＜4，
由韋達(dá)定理得${x_1}+{x_2}=-t，{x_1}{x_2}={t^2}-12$．
四邊形APBQ的面積$S=\frac{1}{2}×6×|{{x_1}-{x_2}}|=3\sqrt{48-3{t^2}}$，
∴當(dāng)t=0，${S_{max}}=12\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量的數(shù)量積公式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計算能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．