Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）． （Ⅰ）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=x2﹣2x+2，若對(duì)任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知 ，則f'（1）=2+1=3． 故曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率為3；
（Ⅱ） ．
①當(dāng)a≥0時(shí)，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f'（x）=0，得 ．
在區(qū)間 上，f'（x）＞0，在區(qū)間 上f'（x）＜0，
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 ；
（Ⅲ）由已知，轉(zhuǎn)化為f（x）max＜g（x）max ，
因?yàn)間（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，
所以g（x）max=2…（9分）
由（Ⅱ）知，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽，故不符合題意．
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（0，﹣ ）上單調(diào)遞增，在（﹣ ，+∞）上單調(diào)遞減，
故f（x）的極大值即為最大值，f（﹣ ）=﹣1+ln（﹣ ）=﹣1﹣ln（﹣a），
所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得a＜﹣
【解析】（Ⅰ）把a(bǔ)的值代入f（x）中，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中求出的導(dǎo)函數(shù)值即為切線的斜率；（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，分a大于等于0和a小于0兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）對(duì)任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等價(jià)于f（x）max＜g（x）max ， 分別求出相應(yīng)的最大值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．