Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，∠A、∠B、∠C的大小成等差數(shù)列，且b=

3

．
（1）若a=1，求∠A的大��；
（2）求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：解三角形

分析：（1）由∠A、∠B、∠C的大小成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)，確定出A+C的度數(shù)，利用正弦定理列出關(guān)系式，將a，b，sinB的值代入求出sinA的值，確定出A的度數(shù)即可；
（2）由b，sinB的值，利用正弦定理表示出a與c，設(shè)周長(zhǎng)為y=a+b+c，將表示出的a與c，以及b的值代入，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出周長(zhǎng)的范圍．

解答： 解：（1）∵A，B，C成等差數(shù)列，
∴A+C=2B=π-B，
解得：B=

π

3

，A+C=

2π

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，a=1，b=

3

，
∴

1

sinA

=

3

3 2

=2，即sinA=

1

2

，
又∵0＜A＜

2π

3

，
∴A=

π

6

；
（2）∵B=

π

3

，b=

3

，
∴

c

sinC

=

a

sinA

=

b

sinB

=

3

3 2

=2，
∴c=2sinC，a=2sinA，
設(shè)周長(zhǎng)為y，
則y=a+b+c=2sinA+2sinC+

3

=2sinA+2sin[π-（

π

3

+A）]
=2sinA+2sin（A+

π

3

）+

3

=2sinA+2sinAcos

π

3

+2cosAsin

π

3

+

3

=2

3

（

3

2

sinA+

1

2

cosA）+

3

=2

3

sin（A+

π

6

）+

3

，
∵0＜A＜

2π

3

，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，即

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，
∴2

3

＜2

3

sin（A+

π

6

）+

3

≤3

3

，
則周長(zhǎng)的取值范圍是（2

3

，3

3

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，正弦函數(shù)的定義域與值域，等差數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．