Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，點Q為線段AD中點，PQ與QB不垂直．
（Ⅰ）若線段PC上的點M滿足PM=

1

3

PC，證明：PA∥平面MQB；
（Ⅱ）若平面PQB⊥平面PAD，求證：PA=PD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BQ=O，連接OM．由已知條件推導(dǎo)出△AOQ∽△COB，△CAP∽△COM．由此得到AP∥OM．從而能證明PA∥平面MQB． 
（Ⅱ）過B做BE⊥PQ于E，由已知條件推導(dǎo)出BE⊥AD，BQ⊥AD．從而得到AD⊥面PQB，進而得到AD⊥PQ，又Q為中點，由此證明PA=PD．

解答： （Ⅰ）證明：連接AC，設(shè)AC∩BQ=O，連接OM．
在△AOQ與△COB中，
因為AD∥BC，
所以∠OQA=∠OBC，∠OAQ=∠OCB．
所以△AOQ∽△COB．
所以

AO

OC

=

AQ

CB

=

1

2

．所以

AO

AC

=

1

3

．
在△CAP與△COM中，因為

CO

CA

=

CM

CP

=

2

3

，∠ACP=∠OCM，
所以△CAP∽△COM．所以∠CPA=∠CMO．所以AP∥OM．
因為OM?平面MQB，PA?平面MQB，
所以PA∥平面MQB．  …（6分）
（Ⅱ）證明：過B做BE⊥PQ于E，因為平面PQB∩平面PAD=PQ，
平面PQB⊥平面PAD，
所以BE⊥面PAD，AD在面PAD內(nèi)
所以BE⊥AD，
連接BD，因為ABCD為菱形，∠DAB=60?，
所以AB=BD．所以BQ⊥AD．
BE∩BQ=B，所以AD⊥面PQB，所以AD⊥PQ，
又Q為中點，所以PA=PD  …（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查線段長相等的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的合理運用．