Question

已知函數(shù)f（x）

-x2+2x，(x＞0) 0，            (x=0) x2+2x，(x＜0)

．
（1）求證函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；
（2）試作出函數(shù)y=f（x）是的圖象；
（3）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,分段函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義，驗(yàn)證f（-x）=-f（x）即可；
（2）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，作出y軸一側(cè)的圖象，即可作出函數(shù)y=f（x）是的圖象；
（3）要使f（x）在[-1，a-2]上單調(diào)遞增，結(jié)合f（x）的圖象知，

a-2＞-1 a-2≤1

，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： （1）證明：?x＜0，則-x＞0，
∴f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x=-f（x）；      …（2分）
又?x＞0，則-x＜0，
∴f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x=-f（x）；        …（3分）
且f（0）=0，所以f（-x）=-f（x）．…（4分）
∴f（x）為奇函數(shù)．…（5分）
（2）解：圖象如圖．…（9分）
（3）解：要使f（x）在[-1，a-2]上單調(diào)遞增，結(jié)合f（x）的圖象知，

a-2＞-1 a-2≤1

，
∴1＜x≤3，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，3]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．