Question

已知集合P={x|x²-4px+2p+6=0}，Q={x|x＜0，x∈R}，若P∩Q≠∅，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專題：集合

分析：本題可從P∩Q=∅來考慮，有兩種情況：方程x²-4px+2p+6=0有兩個非負(fù)實(shí)根，無實(shí)數(shù)根，分別求出p的取值范圍，再求并集，最后再求補(bǔ)集．

解答： 解：若P∩Q是空集，因?yàn)榧�合A是方程x²-4px+（2p+6）=0的根的集合，所以必須使得方程有大于或等于0的根或沒有實(shí)數(shù)根即可．
設(shè)y=x²-4px+（2p+6），那可以先求出P∩Q是空集的實(shí)數(shù)p的范圍，然后再取這個范圍的補(bǔ)集．
（1）若P是空集，則P∩Q為空集，
則△=（4p）²-4（2p+6）＜0
2p²-p-3＜0
得：-1＜p＜

3

2

．
（2）若P不是空集，則要使得P∩Q等于空集，則只要方程兩根非負(fù)即可，得：
①△≥0，得：p≤-1或p≥

3

2

；
②x₁+x₂=4p≥0，得：p≥0；
③x₁x₂=2p+6≥0，得：p≥-3
綜合①、②、③，得：p≥

3

2

．
綜合（1）、（2），得P∩Q為空集時，有p＞-1
從而，要使得P∩Q≠φ，則p≤-1，
所以實(shí)數(shù)p的取值范圍是（-∞，-1]．

點(diǎn)評：本題若從正面考慮需分三種情況討論：方程x²-4px+2p+6=0有兩個負(fù)根，有一正一負(fù)根，有一負(fù)一零根；但從P∩Q=∅來考慮只有兩種情況，這樣簡化了運(yùn)算，采用了正難則反的思想，同學(xué)應(yīng)掌握．本題屬于中檔題．