Question

解關(guān)于x的不等式：ax²-（3a+2）x+6≤0．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：分類討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：分類討論：當(dāng)a=0時(shí)，不等式ax²-（3a+2）x+6≤0化為-2x+6≤0，解得即可．
當(dāng)a≠0時(shí)，不等式ax²-（3a+2）x+6≤0可化為（ax-2 ）（x-3）≤0（*）．
通過a＜0時(shí)，a=

2

3

時(shí)，0＜a＜

2

3

時(shí)，

2

3

＜a時(shí)，（*）不等式化為二次不等式求解即可．

解答： 解：①當(dāng)a=0時(shí)，不等式ax²-（3a+2）x+6≤0化為-2x+6≤0，解得x≥3，此時(shí)原不等式的解集為{x|x≥3}；
②當(dāng)a≠0時(shí)，不等式ax²-（3a+2）x+6≤0可化為（ax-2 ）（x-3）≤0（*）．
當(dāng)a＜0時(shí)，（*）不等式化為（x-

2

a

）（x-3）≥0，解得x≤

2

a

或x≥3，此時(shí)原不等式的解集為{x|x≤

2

a

或x≥3}；
當(dāng)a=

2

3

時(shí)，（*）不等式化為（x-3）²≤0，解得x=3，此時(shí)原不等式的解集為{x|x=3}；
當(dāng)0＜a＜

2

3

時(shí)，（*）不等式化為為（x-

2

a

）（x-3）≤0，解得3≤x≤

2

a

，此時(shí)原不等式的解集為{x|3≤x≤

2

a

}；
當(dāng)

2

3

＜a時(shí)，（*）不等式化為（x-

2

a

）（x-3）≤0，解得

2

a

≤x≤3，此時(shí)原不等式的解集為
{x|

2

a

≤x≤3}．
綜上可知：當(dāng)a=0時(shí)，原不等式的解集為{x|x≥3}；
當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式的解集為{x|x≤

2

a

或x≥3}；
當(dāng)a=

2

3

時(shí)，原不等式的解集為{x|x=3}；
當(dāng)0＜a＜

2

3

時(shí)，原不等式的解集為{x|3≤x≤

2

a

}；
當(dāng)

2

3

＜a時(shí)，原不等式的解集為{x|

2

a

≤x≤3}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解法、分類討論思想方法，正確分類和熟練掌握一元二次不等式的解法是解題的關(guān)鍵，屬于難題．