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【題目】已知橢圓的離心率為,直線與以原點為圓心,以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點,過點的直線交橢圓兩點,直線,分別交直線,兩點.

1)求橢圓的方程;

2)以線段為直徑的圓是否過定點?若是,寫出所有定點的坐標;若不是,請說明理由.

【答案】1;(2)是,定點坐標為

【解析】

1)根據相切得到,根據離心率得到,得到橢圓方程.

2)設直線的方程為,點、的坐標分別為,,聯立方程得到,,計算點的坐標為,點的坐標為,圓的方程可化為,得到答案.

1)根據題意:,因為,所以,

所以橢圓的方程為.

2)設直線的方程為,點、的坐標分別為,

把直線的方程代入橢圓方程化簡得到,

所以,,

所以,

因為直線的斜率,所以直線的方程,

所以點的坐標為,同理,點的坐標為,

故以為直徑的圓的方程為

又因為,

所以圓的方程可化為,令,則有,

所以定點坐標為.

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