Question

為使關(guān)于x的不等式|x-1|+|x-2|≤a²+a+1（a∈R）的解集在R上為空集，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（0，1）
• B、（-1，0）
• C、（1，2）
• D、（-∞，-1）

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：依題意，|x-1|+|x-2|≤a²+a+1的解集在R上為空集?|x-1|+|x-2|＞a²+a+1（a∈R）恒成立?a²+a+1＜||x-1|+|x-2||_min，利用絕對(duì)值三角不等式的幾何意義易求||x-1|+|x-2||_min=1，從而解不等式a²+a+1＜1即可．

解答： 解：不等式|x-1|+|x-2|≤a²+a+1（a∈R）的解集在R上為空集?|x-1|+|x-2|＞a²+a+1（a∈R）恒成立?a²+a+1＜||x-1|+|x-2||_min；
因?yàn)閨x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1，
所以||x-1|+|x-2||_min=1，
所以a²+a+1＜1，
解得：-1＜a＜0．
所以a的取值范圍是（-1，0），
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與恒成立問(wèn)題，考查絕對(duì)值三角不等式的幾何意義，屬于中檔題．