Question

11．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n=2-$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}（n≥2，n∈{N^*}）$，設(shè)S_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，b_n=lga_n，則S₉₉=2．

Answer 1

分析 a_n=2-$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}（n≥2，n∈{N^*}）$，變形為$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$=1，利用等差數(shù)列的通項公式可得a_n，可得b_n=lga_n═lg（n+1）-lgn，利用“累加求和”即可得出．

解答 解：∵a_n=2-$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}（n≥2，n∈{N^*}）$，
∴${a}_{n}-1=\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}=\frac{{a}_{n-1}-1+1}{{a}_{n-1}-1}$=1+$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$，
化為$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}-1}\}$是等差數(shù)列，首項為1，公差為1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}=1+（n-1）$，
解得a_n=$\frac{n+1}{n}$．
∴b_n=lga_n═lg（n+1）-lgn，
∴S_n=[lg（n+1）-lgn]+[lgn-lg（n-1）]+…+（lg3-lg2）+（lg2-lg1）
=lg（n+1）．
∴S₉₉=lg100=2．
故答案為：2．

點評 本題考查了遞推式、等差數(shù)列的通項公式、“累加求和”、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．