Question

【題目】設(shè)，若存在，使得，且對(duì)任意，均有（即是一個(gè)公差為的等差數(shù)列），則稱(chēng)數(shù)列是一個(gè)長(zhǎng)度為的“弱等差數(shù)列”.

（1）判斷下列數(shù)列是否為“弱等差數(shù)列”，并說(shuō)明理由.

①1，3，5，7，9，11；

②2，，，，.

（2）證明：若，則數(shù)列為“弱等差數(shù)列”.

（3）對(duì)任意給定的正整數(shù)，若，是否總存在正整數(shù)，使得等比數(shù)列：是一個(gè)長(zhǎng)度為的“弱等差數(shù)列”？若存在，給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（1）①是，②不是,理由見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

（3）存在，證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）①舉出符合條件的具體例子即可；②反證法推出矛盾；
（2）根據(jù)題意找出符合條件的為等差數(shù)列即可；
（3）首先，根據(jù)，將公差表示出來(lái)，計(jì)算任意相鄰兩項(xiàng)的差值可以發(fā)現(xiàn)不大于．那么用裂項(xiàng)相消的方法表示出，結(jié)合相鄰兩項(xiàng)差值不大于可以得到，接下來(lái)，只需證明存在滿(mǎn)足條件的即可．用和公差表示出，并展開(kāi)可以發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)為，而已知，因此在足夠大時(shí)顯然成立．結(jié)論得證.

解：（1）數(shù)列①：1，3，5，7，9，11是“弱等差數(shù)列”
取分別為1，3，5，7，9，11，13即可；
數(shù)列②2，，，，不是“弱等差數(shù)列”
否則，若數(shù)列②為“弱等差數(shù)列”，則存在實(shí)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，
，
，

又

與矛盾，

所以數(shù)列②2，，，，不是“弱等差數(shù)列”；
（2）證明：設(shè)，
令，取，則，
則，

，
，
就有，命題成立．
故數(shù)列為“弱等差數(shù)列”；

（3）若存在這樣的正整數(shù)，使得
成立．
因?yàn)?/span>，，
則，其中待定．

從而，

又，

∴當(dāng)時(shí)，總成立．
如果取適當(dāng)?shù)?/span>，使得，又有

所以，有
，
為使得，需要，
上式左側(cè)展開(kāi)為關(guān)于的多項(xiàng)式，最高次項(xiàng)為，其次數(shù)為，
故，對(duì)于任意給定正整數(shù)，當(dāng)充分大時(shí)，上述不等式總成立，

即總存在滿(mǎn)足條件的正整數(shù)，使得等比數(shù)列：是一個(gè)長(zhǎng)度為的“弱等差數(shù)列”.