Question

12．已知無窮數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{n}{{n}^{2}+λ}$．如果對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有a_n≤a₇恒成立，那么正實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（42.25，56.25）．

Answer 1

分析 利用基本不等式可知a_n≤$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{λ}{n}}}$當(dāng)且僅當(dāng)n=$\frac{λ}{n}$即λ=n²時(shí)取等號(hào)，進(jìn)而6.5＜$\sqrt{λ}$＜7.5，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵λ＞0，∴a_n=$\frac{n}{{n}^{2}+λ}$=$\frac{1}{n+\frac{λ}{n}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{λ}{n}}}$，
當(dāng)且僅當(dāng)n=$\frac{λ}{n}$即λ=n²時(shí)取等號(hào)，
∵對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有a_n≤a₇恒成立，
∴6.5＜$\sqrt{λ}$＜7.5，
解得：42.25＜λ＜56.25，
故答案為：（42.25，56.25）．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與函數(shù)的綜合題，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．