Question

關于x的方程

3

sin2x+cos2x=k+1在[0，

π

2

]內有兩相異實根，則k滿足（　�。�

• A、k∈（-3，1）
• B、k∈[0，1）
• C、k∈（-2，1）
• D、k∈（0，1）

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：分離參數(shù)k，易求k=2sin（2x+

π

6

）-1，當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，利用正弦函數(shù)的性質知，當2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

）時，方程

3

sin2x+cos2x=k+1在[0，

π

2

]內有兩相異實根，從而可求得k的取值范圍．

解答： 解：∵k=

3

sin2x+cos2x-1
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）-1
=2sin（2x+

π

6

）-1，
又x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
要使關于x的方程

3

sin2x+cos2x=k+1在[0，

π

2

]內有兩相異實根，
必須2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

），
又當2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

）時，
∴

1

2

≤sin（2x+

π

6

）＜1，
0≤2sin（2x+

π

6

）-1＜1，即k∈[0，1）．
故選：B．

點評：本題考查兩角和的正弦函數(shù)，著重考查正弦函數(shù)的單調性與最值，考查轉化思想與綜合運算能力，屬于中檔題．