Question

5．己知f（1+x）=f（1-x），且f（-x）+f（x）=0，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=-x+2：
（1）求x∈[-1，1]時(shí)，f（x）的解析式；（2）求證：x=-1為f（x）的一條對(duì)稱軸；（3）求不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和周期性，利用函數(shù)的奇偶性和周期性的關(guān)系進(jìn)行求解．
（2）根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性的定義進(jìn)行證明即可．
（3）根據(jù)函數(shù)的周期性，先求出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的解集進(jìn)行求解即可．

解答 解：f（-x）+f（x）=0得f（-x）=-f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∵f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），
∴f（x+2）=-f（x），
即f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
則f（x）為周期是4的周期函數(shù)，
（1）若x∈[-1，1]，則x+2∈[1，3]，
則f（x）=-f（x+2）=-[-（x+2）+2]=-（-x-2+2）=x，
即x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x．
（2）∵f（-1+x）=-f（-1+x+2）=-f（x+1）=f（-1-x），
∴x=-1為f（x）的一條對(duì)稱軸．
（3）∵函數(shù)在一個(gè)周期[-1，1]上的解析式f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，}&{-1≤x≤1}\\{-x+2，}&{1＜x≤3}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，由f（x）≥$\frac{1}{2}$得x≥$\frac{1}{2}$，此時(shí)$\frac{1}{2}$≤x≤1，
當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，由f（x）≥$\frac{1}{2}$得-x+2≥$\frac{1}{2}$，此時(shí)1≤x≤$\frac{3}{2}$，
此時(shí)$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$，
∵函數(shù)的周期是4，
∴不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$的解集為[$\frac{1}{2}$+4k，$\frac{3}{2}$+4k]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)的奇偶性，周期性和對(duì)稱性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．