Question

10．已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足：當n≥2時，a_n+3S_n•S_n-1=0，且a₁=$\frac{1}{3}$，S_n≠0．
（1）求證：數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}為等差數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）利用n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，將a_n+3s_n•s_n-1=0（n≥2，n∈N^*），變形為S_n-S_n-1+3S_nS_n-1=0．進而得到$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=3；
（2）利用等差數列的通項公式即可得出S_n，代入a_n+3S_n•S_n-1=0求得數列{a_n}的通項公式．

解答 （1）證明：∵a_n+3s_n•s_n-1=0（n≥2，n∈N^*），∴S_n-S_n-1+3S_nS_n-1=0．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=3．
∴數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}$=3為首項，3為公差的等差數列；
（2）解：∵{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}$=3為首項，3為公差的等差數列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=3+（n-1）×3，解得${S}_{n}=\frac{1}{3n}$，n=1時也成立．
∴a_n=-3S_n•S_n-1=$-\frac{3}{3n•3（n-1）}=-\frac{1}{3n（n-1）}$（n≥2）．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}，n=1}\\{-\frac{1}{3n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數列遞推式，熟練掌握a_n與S_n的相互轉化、等差數列的通項公式是解答該題的關鍵，是中檔題．