Question

20．已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）
（1）若b+c=-2且方程f（x）=0有整數(shù)解x₁，x₂，試求：x₁，x₂的值；
（2）若f（x）在（0，1）上與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求c²+（1+b）c的取值范圍；
（3）若|x|≥2時(shí)，f（x）≥0，且f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1，試求b²+c²的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)韋達(dá)定理得到x₁x₂-x₁-x₂+1=-1，從而求出兩個(gè)根的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)f（x）=x²+bx+c的兩個(gè)零點(diǎn)為x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜1），即f（0）=c=x₁x₂＞0，f（1）=1+b+c=（1-x₁）（1-x₂）＞0，進(jìn)而結(jié)合基本不等式可得c（1+b+c）的取值范圍；
（3）據(jù)題意函數(shù)圖象為開(kāi)口向上的拋物線，且f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值只能在閉端點(diǎn)取得，故有f（2）≤f（3）=1，從而b≥-5且c=-3b-8，再根據(jù)若|x|≥2時(shí)，f（x）≥0，可確定b的范圍，進(jìn)而可求b²+c²的最大值和最小值．

解答 解：（1）f（x）=x²+bx+c，
則x₁+x₂=-b，
x₁x₂=-2-b，
兩式相減：x₁+x₂-x₁x₂=2，
x₁x₂-x₁-x₂+1=-1，
∴（x₁-1）（x₂-1）=-1，
∴一個(gè)等于0，一個(gè)等于2；
（2）設(shè)二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的零點(diǎn)為x₁和x₂，且0＜x₁＜x₂＜1，
則：f（0）=c=x₁x₂＞0，
f（1）=1+b+c=（1-x₁）（1-x₂）=1+b+c＞0
f（0）f（1）=c²+bc+c=x₁x₂（1-x₁）（1-x₂）＜${（\frac{{x}_{1}+1{-x}_{1}}{2}）}^{2}$•${（\frac{{x}_{2}+1{-x}_{2}}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{16}$，
∴0＜c²+（1+c）b＜$\frac{1}{16}$；
（3）由題意函數(shù)圖象為開(kāi)口向上的拋物線，
且f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值只能在閉端點(diǎn)取得，
故有f（2）≤f（3）=1，從而b≥-5且c=-3b-8．
若f（x）=0有實(shí)根，則△=b²-4c=b²+12b+32≥0，
∵|x|≥2時(shí)，f（x）≥0，
∴在區(qū)間[-2，2]有 $\left\{\begin{array}{l}{f（-2）≥0}\\{f（2）≥0}\\{-2≤\frac{2}≤2}\end{array}\right.$即 $\left\{\begin{array}{l}{4-2b+c≥0}\\{4+2b+c≥0}\\{-4≤b≤4}\end{array}\right.$，
消去c，解出 $\left\{\begin{array}{l}{b≤-\frac{4}{5}}\\{b≤-4}\\{-4≤b≤4}\end{array}\right.$，
即b=-4，這時(shí)c=4，且△=0．
若f（x）=0無(wú)實(shí)根，則△=b²-4c＜0，將c=-3b-8代入解得-8＜b＜-4．
綜上-5≤b≤-4．
所以b²+c²=b²+（-3b-8）²=10b²+48b+64=10（b+$\frac{12}{5}$）²+$\frac{32}{5}$，
∴b²+c²在[-5，-4]上單調(diào)遞減．
故（b²+c²）_min=32，（b²+c²）_max=74．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：二次函數(shù)的零點(diǎn)和一元二次方程的根的關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，及相關(guān)的運(yùn)算是典型的二次函數(shù)最值問(wèn)題，解題需要靈活運(yùn)用初等數(shù)學(xué)思想，包括數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化且探究意識(shí)要強(qiáng)．