Question

已知數(shù)列{a_n}是首項和公比均為

1

4

的等比數(shù)列，設b_n+2=3log 

1

4

a_n（n∈N^*）．數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n
（Ⅰ）求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：

分析：（Ⅰ）可利用等差數(shù)列的定義來證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）可利用等比數(shù)列的通項公式bn=b1qn-1和錯位相減法求數(shù)列{cn}的前n項和．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，an=(

1

4

)n，(n∈N*)，
∴bn=3log

1

4

an-2=3log

1

4

(

1

4

)n-2=3n-2，
∴b_n+1-b_n=3（n+1）-2-（3n-2）=3 （常數(shù)），
∴數(shù)列{b_n}是首項b₁=1，公差為d=3的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=(

1

4

)n，b_n=3n-2，（n∈N^*），
∴c_n=（3n-2）×(

1

4

)n，（n∈N^*），
∴s_n=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3+…+(3n-5)×(

1

4

)n-1+(3n-2)×(

1

4

)n，
于是

1

4

sn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+…+(3n-5)×(

1

4

)n+(3n-2)×(

1

4

)n+1，
兩式相減得

3

4

sn=

1

4

+3[(

1

4

)2+(

1

4

)3+…+(

1

4

)n]-(3n-2)×(

1

4

)n+1，
即

3

4

 sn=

1

4

+3×

( 1 4 )2- 1 4 ×( 1 4 )n

1- 1 4

-(3n-2)×(

1

4

)n+1，

3

4

sn=

1

4

+

1

4

-(

1

4

)n-(3n-2)×(

1

4

)n+1，

3

4

sn=

1

2

-(3n+2)×(

1

4

)n+1，
∴sn=

2

3

-

3n+2

3

×(

1

4

)n，（n∈N^*）．

點評：題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時要認真審題，仔細解答．