Question

已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁F₂，離心率e=

2

，且過(guò)（4，-

10

），
（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線(xiàn)x=3與雙曲線(xiàn)交于M，N兩點(diǎn)，求證：F₁M⊥F₂M．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知得e=

c

a

=

2

，從而設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²-y²=a²，代入點(diǎn)（4，-

10

），能求出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由（1）得F₁（-2

3

，0），F(xiàn)₂（2

3

，0），M（3，

3

），N（3，-

3

），由此能證明F₁M⊥F₂M．

解答： 解：（1）∵雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁F₂，
離心率e=

2

，且過(guò)（4，-

10

），
∴e=

c

a

=

2

，∴c²=2a²，∴b²=c²-a²=a²，
設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²-y²=a²，
代入點(diǎn)（4，-

10

），得a²=16-10=6，
∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²-y²=6．…（6分）
（2）由（1）得F₁（-2

3

，0），F(xiàn)₂（2

3

，0），
M（3，

3

），N（3，-

3

），
∴kF1M=

3

3+2 3

，∴kF1M=

3

3-2 3

，
∴kF1M•kF1M=-1，∴F₁M⊥F₂M．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查兩直線(xiàn)垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．