Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+a

ex

（x∈R）（e是自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）當a=-8時，求f（x）的極值；
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，2]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）試比較

1+12

e

+

1+22

e2

+

1+32

e3

+…+

1+n2

en

與

5n

4

e -

1

2

（其中n∈N^*）的大�。�

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）將x=8代入，利用導數(shù)法，分析函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)極值的定義得到答案；
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，2]上是單調(diào)函數(shù)，則f′（x）≥0或f′（x）≤0在[-1，2]上恒成立，即-a≤x²-2x或-a≥x²-2x在[-1，2]上恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得實數(shù)a的取值范圍；
（3）令a=1，利用導數(shù)法可得f(k)＜f(

1

2

)，即

k2+1

ek

＜

5

4

e-

1

2

，累加可得

1+12

e

+

1+22

e2

+

1+32

e3

+…+

1+n2

en

＜

5n

4

e-

1

2

．

解答： 解：（1）當a=-8時，f（x）=

x2+8

ex

，
f′(x)=-

(x+2)(x-4)

ex

，
令f′（x）＞0，則x∈（-2，4），故f（x）的增區(qū)間是（-2，4），
令f′（x）＜0，則x∈（-∞，-2）∪（4，+∞），故f（x）的減區(qū)間是（-∞，-2），（4，+∞），
所以y極大值=f(4)=

8

e4

，y極小值=f(-2)=-4e2…（4分）
（2）f′(x)=

-x2+2x-a

ex

，
若f（x）在區(qū)間[-1，2]上是單調(diào)函數(shù)，
則f′（x）≥0或f′（x）≤0在[-1，2]上恒成立，
化簡可得：-a≤x²-2x或-a≥x²-2x在[-1，2]上恒成立．
令g（x）=x²-2x，x∈[-1，2]⇒g（x）∈[-1，3]，
∴-a≤-1或-a≥3
∴a≥1或a≤-3…（8分）
（3）令a=1得：f(x)=

x2+1

ex

，
∵f′(x)=

-(x-1)2

ex

≤0恒成立，
所以f（x）在R上為減函數(shù)，
對于任意k∈N^*，都有k＞

1

2

，
故有f(k)＜f(

1

2

)即

k2+1

ek

＜

5

4

e-

1

2

，
所以

1+12

e

+

1+22

e2

+

1+32

e3

+…+

1+n2

en

＜

5n

4

e-

1

2

…（14分）

點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，運算量大，綜合性強，轉(zhuǎn)化過程復雜，屬于難題．