Question

（2012•安徽模擬）已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-a（x+1）（a∈R）
（I）若當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0恒成立，求a的取值范圍；
（II）求函數(shù)g(x)=f′(x)-

a

x

的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）先求出導(dǎo)函數(shù)．再由f′（x）＞0恒成立，分離參數(shù)得a＜lnx+

1

x

+1（x≥1）恒成立，令h（x）=lnx+

1

x

+1，利用導(dǎo)數(shù)研究其最值，從而解決問(wèn)題；
（II）先寫出函數(shù)g（x）的解析式，再求出導(dǎo)數(shù)g′（x）=

x-(1-a)

x2

，下面對(duì)a進(jìn)行分類討論：當(dāng)a≥1時(shí)，當(dāng)a＜1時(shí)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)工具研究其單調(diào)區(qū)間即可．

解答：解：x＞0，f′（x）=lnx+

x+1

x

-a．
（I）f′（x）＞0恒成立，即a＜lnx+

1

x

+1（x≥1）恒成立，
令h（x）=lnx+

1

x

+1，則h′（x）=

x-1

x2

≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，h（x）最小值=h（1）=2，
故a＜2．
（II）g（x）=f′（x）-

a

x

=lnx+

x+1

x

-a-

a

x

=lnx+

1-a

x

+1-a，
g′（x）=

x-(1-a)

x2

，
當(dāng)a≥1時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上遞增；
當(dāng)a＜1時(shí)，g′（x）=0，得x=1-a，
x∈（0，1-a）時(shí)，g′（x）＜0函數(shù)g（x）在（0，+∞）上遞減；
x∈（1-a，+∞）時(shí)，g′（x）＞0函數(shù)g（x）在（0，+∞）上遞增；
故函數(shù)g(x)=f′(x)-

a

x

的單調(diào)區(qū)間為：
當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)g（x）遞增區(qū)間為：（0，+∞）；
當(dāng)a＜1時(shí)，函數(shù)g（x）遞增區(qū)間為：（1-a，+∞）；函數(shù)g（x）遞減區(qū)間為：（0，1-a）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意解題時(shí)要先分析函數(shù)的定義域．