Question

已知f（x）=

mx2+4

3x+n

是奇函數(shù)，且f（1）=

5

3

，
（1）求實(shí)數(shù)m，n的值；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）在[2，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）=

mx2+4

3x+n

是奇函數(shù)，且f（1）=

5

3

，可得f（-1）=-

5

3

，解出即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)即可得出單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（x）=

mx2+4

3x+n

是奇函數(shù)，且f（1）=

5

3

，
∴f（-1）=-

5

3

，
∴-

5

3

=

m+4

n-3

，

5

3

=

m+4

3+n

，解得n=0，m=1．
（2）由（1）可得：f（x）=

x2+4

3x

=

1

3

(x+

4

x

)．
函數(shù)f（x）在[2，+∞）上的單調(diào)遞增．
證明如下：∵x∈[2，+∞）．
f′（x）=

1

3

(1-

4

x2

)=

x2-4

3x2

≥0，
∴函數(shù)f（x）在[2，+∞）上的單調(diào)遞增．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．