【題目】已知點(diǎn)在橢圓上， 為橢圓的右焦點(diǎn)， 分別為橢圓的左，右兩個(gè)頂點(diǎn).若過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且線段的斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線與相交于點(diǎn)，證明： 三點(diǎn)共線.

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上和的斜率之積為可得到關(guān)于的方程組，解方程組后可得橢圓的方程．（2）由（1）可得軸，要證三點(diǎn)共線，只需證軸，即證，即證直線與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．根據(jù)題意可得直線， ，故只需證當(dāng)x=1時(shí)， 成立即可，結(jié)合由直線的方程和橢圓方程聯(lián)立消元后得到的二次方程可得顯然成立，故得所證結(jié)論成立．

試題解析：

（1）∵點(diǎn)在橢圓，

∴①．

設(shè)，由線段的斜率之積為得，

，

∴②，

由①②解得， ， .

所以橢圓的方程為.

（2）由（1）可得軸，要證三點(diǎn)共線，只需證軸，即證.

由消去y整理得，

∵直線與橢圓交于兩點(diǎn)，

∴

設(shè)， ，

則， （*），

因?yàn)橹本�， ，

即證： ，

即證 .

即證.

將（*）代入上式可得，

整理得.

此式明顯成立，故原命題得證.

所以三點(diǎn)共線.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】設(shè)函數(shù)（其中）．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

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,將沿折到的位置，得到四棱錐，如圖（2），點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且平面.

（1）求證：平面平面；

（2）若直線與所成角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值.

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（Ⅰ）求證：；

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【題目】．

（1）證明：存在唯一實(shí)數(shù)，使得直線和曲線相切；

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（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若與底面所成角的正切值為2，求二面角的余弦值.

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【題目】已知直線y=x+b與函數(shù)f(x)=ln x的圖象交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,其橫坐標(biāo)分別為x1,x2,且x1<x2.

(1)求b的取值范圍;

(2)當(dāng)x2≥2時(shí),證明x1·<2.

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（Ⅰ）求k的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)C為W上一點(diǎn)，且，過兩點(diǎn)分別作W的切線，記兩切線的交點(diǎn)為. 判斷四邊形是否為梯形，并說明理由.

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