Question

13．若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$均為單位向量，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）≤0，則|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|的最大值為1．

Answer 1

分析 由題意可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）≤-$\frac{3}{2}$，再根據(jù)|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow}^{2}{+\overrightarrow{c}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow•\overrightarrow{c}}$=$\sqrt{4+2\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}$≤1，從而求得|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|的最大值．

解答 解：由題意可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1×1×cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）≤0，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$+${\overrightarrow{c}}^{2}$≤0，
即 $\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$+$\frac{3}{2}$=$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）+$\frac{3}{2}$≤0，$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）≤-$\frac{3}{2}$，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow}^{2}{+\overrightarrow{c}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow•\overrightarrow{c}}$=$\sqrt{4+2\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}$≤$\sqrt{4-3}$=1，
故|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|的最大值為1，
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，求向量的模的方法，屬于中檔題．