Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2n），$\overrightarrow$=（m+n，m）（m＞0，n＞0），若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$，則m+n的最小值為$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到m+n+2mn=1，根據(jù)基本不等式便有$mn≤（\frac{m+n}{2}）^{2}$，從而便得到不等式（m+n）²+2（m+n）-2≥0，根據(jù)m＞0，n＞0，從而解該關(guān)于m+n的一元二次不等式便可得到$m+n≥\sqrt{3}-1$，從而m+n的最小值便為$\sqrt{3}-1$．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=m+n+2mn=1$；
∵m＞0，n＞0；
∴$mn≤（\frac{m+n}{2}）^{2}$；
∴$1≤（m+n）+\frac{（m+n）^{2}}{2}$；
即（m+n）²+2（m+n）-2≥0；
解關(guān)于m+n的一元二次不等式得，$m+n≥\sqrt{3}-1$，或m$+n≤-1-\sqrt{3}$（舍去）；
∴m+n的最小值為$\sqrt{3}-1$，當(dāng)m=n時(shí)取“=”．
故答案為：$\sqrt{3}-1$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，基本不等式：a+b$≥2\sqrt{ab}$，a＞0，b＞0，以及解一元二次不等式．