Question

6．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x-\frac{1}{2}，x∈R$．
（ I）求$f（x）=-\frac{1}{2}$時(shí)x取值的集合；
（ II）已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量$\overrightarrow m=（1，sinA）與\overrightarrow n=（2，sinB）$共線(xiàn)，求a，b的值．

Answer 1

分析 （I）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=$sin（2x-\frac{π}{6}）-1$，可得$sin（2x-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，解得x取值的集合．
（II）由題意可得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，結(jié)合C的范圍，可求C的值，由m與n共線(xiàn)得sinB-2sinA=0，由正弦定理可得b=2a． ①由余弦定理，得$9={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}$． ②，解①②組成的方程組，即可得解．

解答 （本題滿(mǎn)分為12分）
解：（I）$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x-\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-1$=$sin（2x-\frac{π}{6}）-1$…（3分）
由$f（x）=-\frac{1}{2}$得$sin（2x-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
故$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}+2kπ或2x-\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}+2kπ，k∈Z$，
所以x取值的集合為：$\left\{{\left.x\right|x=\frac{π}{6}+kπ或x=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z}\right\}$…（5分）
（II）∵$f（C）=sin（2C-\frac{π}{6}）-1=0$，即$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，
∵$0＜C＜π，-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，
∴$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
∴$C=\frac{π}{3}$…（6分）
∵m與n共線(xiàn)，∴sinB-2sinA=0，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，得b=2a． ①…（8分）
∵c=3，由余弦定理，得$9={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}$． ②…（10分）
解①②組成的方程組，得$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{3}\\ b=2\sqrt{3}.\end{array}\right.$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了正弦定理，余弦定理，平面向量與共線(xiàn)向量的應(yīng)用，屬于中檔題．