Question

已知函數(shù)f（x）=

x

+

4-x

，則函數(shù)f（x）的值域為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令

4-x

=t，t≥0，x=

4-t2

，并設(shè)y=f（x），所以根據(jù)原函數(shù)得：y=

4-t2

+t，將該函數(shù)變成2t²-2yt+y²-4=0，所以將該式看成關(guān)于t的方程，方程有解，所以判別式△=4y²-8（y²-4）≥0，解不等式即得原函數(shù)的值域．

解答： 解：令

4-x

=t，（t≥0），x=4-t²，并設(shè)y=f（x）；
∴y=

4-t2

+t，將該函數(shù)變成：2t²-2yt+y²-4=0，∴可以把這個式子看成關(guān)于t的方程，方程有解；
∴△=4y²-8（y²-4）≥0，解得-2

2

≤y≤2

2

；
∴函數(shù)f（x）的值域為[-2

2

，2

2

]．
故答案為：[-2

2

，2

2

]．

點評：考查函數(shù)的值域，以及含根號的函數(shù)值域的求法，一元二次方程的根和判別式△的關(guān)系．