Question

長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中對(duì)角線AC₁與平面ABCD、平面ABB₁A₁、平面AA₁D₁D上射影所成角分別為θ₁、θ₂，θ₃，求cos²θ₁+cos2θ2+cos2θ3的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：設(shè)長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，則

cos

2 θ1

=

a2+b2

a2+b2+c2

，

cos

2 θ2

=

a2+c2

a2+b2+c2

，

cos

2 θ3

=

b2+c2

a2+b2+c2

．由此能求出

cos

2 θ1

+

cos

2 θ2

+

cos

2 θ3

的值．

解答： 解：設(shè)長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，
∵對(duì)角線AC₁與平面ABCD、平面ABB₁A₁、平面AA₁D₁D上射影所成角分別為θ₁、θ₂，θ₃，
∴θ₁=∠CAC₁，則cos²θ₁=（

AC

AC1

）²=

a2+b2

a2+b2+c2

，
θ₂=∠C₁AB₁，則cos²θ₂=（

AB1

AC1

）²=

a2+c2

a2+b2+c2

，
θ₃=∠D₁AC₁，則cos²θ₃=（

AD1

AC1

）²=

b2+c2

a2+b2+c2

．
故cos²θ₁+cos2θ2+cos2θ3=

2(a2+b2+c2)

a2+b2+c2

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三線線面角的余弦值的平方的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面與平面垂直的性質(zhì)定理、勾股定理、線面角的求解等基礎(chǔ)知識(shí)的合理運(yùn)用，意在考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力．