Question

20．若直線(xiàn)y=-x+k與曲線(xiàn)x=-$\sqrt{1-{y}^{2}}$恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍k=-$\sqrt{2}$或k∈（-1，1]．

Answer 1

分析 把直線(xiàn)和曲線(xiàn)的圖象畫(huà)出來(lái)，如圖所示，得到曲線(xiàn)為一個(gè)半個(gè)單位圓，根據(jù)直線(xiàn)y=-x+k與曲線(xiàn)x=-$\sqrt{1-{y}^{2}}$恰有一個(gè)公共點(diǎn)由圖象即可求出k的取值范圍．

解答 解：根據(jù)圖象可知：半圓的圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=1，
當(dāng)直線(xiàn)y=-x+k與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)在（-1，1]時(shí)，直線(xiàn)y=-x+k與曲線(xiàn)x=-$\sqrt{1-{y}^{2}}$恰有一個(gè)公共點(diǎn)，即k∈（-1，1]；
當(dāng)直線(xiàn)y=-x+k與半圓在第三象限相切時(shí)，直線(xiàn)y=-x+k與曲線(xiàn)x=-$\sqrt{1-{y}^{2}}$恰有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以圓心到直線(xiàn)的距離d=1，解得k=$\sqrt{2}$（舍去）或k=-$\sqrt{2}$，
綜上，k的取值范圍是：k=-$\sqrt{2}$或k∈（-1，1]．
故答案為：k=-$\sqrt{2}$或k∈（-1，1]．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生掌握直線(xiàn)與圓相切時(shí)滿(mǎn)足的關(guān)系，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式化簡(jiǎn)求值，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)圖象是解本題的關(guān)鍵．