Question

10．已知函數(shù)f（x）=-x²+4（a+1）x-4a²-4a-2．
（1）若f（x）在[0，2]的最大值是2，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，n（m＜n）使得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域是[2m，2n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）對函數(shù)進(jìn)行配方，對對稱軸是否在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行討論，從而可知函數(shù)在何處取得最小值，解出相應(yīng)的a的值；
（2）假設(shè)存在m，n，根據(jù)f（x）在[m，n]上的單調(diào)性討論f（x）何時(shí)取得最大值和最小值，列出方程組，查看方程組是否有解．

解答 解：函數(shù)f（x）的對稱軸為x=2（a+1）．
①當(dāng)2（a+1）≤0即a≤-1時(shí)，f（x）在[0，2]上是減函數(shù)．
∴f_max（x）=f（0）=-4a²-4a-2=2，無解；
②當(dāng)0＜2（a+1）＜2即-1＜a＜0時(shí)，f（x）在[0，2]上先增后減，
∴f_max（x）=f（2a+2）=-8a²-8a-2=2，無解；
③當(dāng)2（a+1）≥2即a≥0時(shí)，f（x）在[0，2]上是增函數(shù)．
f_max（x）=f（2）=-4a²+4a+2=2，解得a=0或a=1．
綜上：a=0或a=1．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，n（m＜n）使得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域是[2m，2n]，
（i）若f（x）在[m，n]上是增函數(shù)，則
$\left\{\begin{array}{l}{n≤2a+2}\\{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{n≤2a+2}\\{{m}^{2}-（4a+2）m+4{a}^{2}+4a+2=0}\\{{n}^{2}-（4a+2）n+4{a}^{2}+4a+2=0}\end{array}\right.$，
△=（4a+2）²-4（4a²+4a+2）=-4＜0
∴方程組無解．
（ii）若f（x）在[m，n]上是減函數(shù)，則
$\left\{\begin{array}{l}{m≥2a+2}\\{f（m）=2n}\\{f（n）=2m}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m≥2a+2}\\{-{m}^{2}+4（a+1）m-4{a}^{2}-4a-2=2n}\\{-{n}^{2}+4（a+1）n-4{a}^{2}-4a-2=2m}\end{array}\right.$，
整理得m+n=4a+3，
∵n＞m≥2a+2，
∴m+n＞4a+4，
即4a+3＞4a+4，與3＜4矛盾．
∴方程組無解．
（iii）若f（x）在[m，n]上先增后減，則
$\left\{\begin{array}{l}{m＜2a+2＜n}\\{f（2a+2）=2n}\\{f（m）=2m}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜2a+2＜n}\\{f（2a+2）=2n}\\{f（n）=2m}\end{array}\right.$
∵f_max（x）=f（2a+2）=4a+2=2n，
∴n=2a+1．
∵2a+2＜n，
即2a+2＜2a+1，
與2＞1矛盾．
∴方程組無解．
綜上所述，不存在符合條件的m，n使得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域是[2m，2n]．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性與對稱軸的關(guān)系，最大值與存在性問題，以對稱軸為分類標(biāo)準(zhǔn)是解決此題的關(guān)鍵，屬于中檔題．