Question

稱滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”：
①；②.
（1）若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”，求公比q及的通項(xiàng)公式；
（2）若一個(gè)等差數(shù)列既是階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）記n階“期待數(shù)列”的前k項(xiàng)和為：
（i）求證：；
（ii）若存在使，試問數(shù)列能否為n階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）．或；
（2）；
（3）（i）證明見解析；（ii）不能，證明見解析．

解析試題分析：（1）數(shù)列中等比數(shù)列，因此是其前和，故利用前前項(xiàng)和公式，分和進(jìn)行討論，可很快求出，或；（2）階等差數(shù)列是遞增數(shù)列，即公差，其和為0，故易知數(shù)列前面的項(xiàng)為負(fù)，后面的項(xiàng)為正，即前項(xiàng)為正，后項(xiàng)為正，因此有，，這兩式用基本量或直接相減可求得，，因此通項(xiàng)公式可得；（3）（i）我們只要把數(shù)列中所有非負(fù)數(shù)項(xiàng)的和記為，所有負(fù)數(shù)項(xiàng)的記為，則，不可能比小，同樣不可能比大，即，得證；（ii）若，則一定有，，且，若數(shù)列為n階“期待數(shù)列”，設(shè)其前項(xiàng)和為，首先，而，，因此，即，，從而，于是，那么，矛盾出現(xiàn)了，故結(jié)論是否定的．
試題解析：（1）①若，由①得，，得，矛盾．     1分
若，則由①=0，得，     3分
由②得或．
所以，．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是
或            4分
（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，>0．
∵，∴，∴，
∵>0，由得，，
由①、②得，，     6分
兩式相減得，， ∴，
又，得，
∴數(shù)列