Question

5．函數(shù)f（x）=$\frac{3{x}^{2}+ax+1}{{x}^{2}+x+1}$在R上的值域是[$\frac{1}{3}$，3），求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 由題意，可將f（x）=$\frac{3{x}^{2}+ax+1}{{x}^{2}+x+1}$在R上的值域是[$\frac{1}{3}$，3），轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的不等式$\frac{1}{3}$≤$\frac{3{x}^{2}+ax+1}{{x}^{2}+x+1}$＜3在R上恒成立，從而得到關(guān)于a的不等式，即可求得a的值．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=$\frac{3{x}^{2}+ax+1}{{x}^{2}+x+1}$=$\frac{（3{x}^{2}+3x+3）+（a-3）x-2}{{x}^{2}+x+1}$在R上的值域是[$\frac{1}{3}$，3），
則$\frac{1}{3}$≤$\frac{3{x}^{2}+ax+1}{{x}^{2}+x+1}$＜3，即$-\frac{8}{3}≤$$\frac{（a-3）x-2}{{x}^{2}+x+1}$＜0在R上恒成立，
由于x²+x+1＞0，則-8（x²+x+1）≤3[（a-3）x-2]＜0
由于-8（x²+x+1）≤3[（a-3）x-2]，即8x²+（3a-1）x+2≥0對(duì)任意的實(shí)數(shù)均成立，
則△=（3a-1）²-64≤0，解得-$\frac{7}{3}$≤a≤3；
由于3[（a-3）x-2]＜0對(duì)任意的實(shí)數(shù)均成立，則a=3
綜上可知，a=3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，以及恒成立問題的轉(zhuǎn)化，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．