【題目】已知函數(shù)fk(x)=2x﹣(k﹣1)2﹣x(k∈Z),x∈R,g(x)= .
(1)若f2(x)=2,求x的值.
(2)判斷并證明函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性;
(3)若函數(shù)y=f0(2x)+2mf2(x)在x∈[1,+∞)上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:由題意得:
由題意, ∴ ,
∴(2x)2﹣2(2x)﹣1=0
∴ ,或 (舍去)∴
(2)解: ,
∵當(dāng)x變大時(shí),4x+1變大, 也變大,g(x)變大
∴g(x)在R上單調(diào)遞增.
證明:任取x1,x2∈R,且x1<x2
則f(x1)﹣f(x2)= =
= =
∴x1<x2
∴
∴ ,
∴f(x1)﹣f(x2)<0
∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)在R上是增函數(shù)
(3)解:y=f0(2x)+2mf2(x)=22x+2﹣2x+2m(2x﹣2﹣x)=(2x﹣2﹣x)2+2+2m(2x﹣2﹣x)
令t=2x﹣2﹣x,則t在R上單調(diào)遞增.
∵x∈[1,+∞),∴
條件等價(jià)于 在x∈[1,+∞)上有零點(diǎn),
即: 在 上有零點(diǎn)
令 任取 ,
則
∵ ∴ ∴h(t1)﹣h(t2)<0∴h(t1)<h(t2)
∴h(t)在 上單調(diào)遞增
∴當(dāng) 時(shí), ,即
所以,
【解析】1、由代入特殊值可得 f2 ( x ) = 2 x 2 x = 2 ∴ 2 x 1 2 x = 2 ,∴(2x)2﹣2(2x)﹣1=0,由指對(duì)互化可得結(jié)果。
2、由函數(shù)的增減性定義可得該函數(shù)為增函數(shù)。
3、整體思想代換令t=2x﹣2﹣x, t ≥ 即 2 m = = t +在 t ≥ 上有零點(diǎn),.令 h ( t ) = t + , t ∈ [ , + ∞ ) 任取 3 2 ≤ t1 < t2 ,則 h ( t1 ) h ( t2 ) =,由增減函數(shù)的定義可得h(t)在 [ , + ∞ ) 上單調(diào)遞增,所以, m ≤
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法,需要了解單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】人們生活水平的提高,越來越注重科學(xué)飲食.營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出,成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白質(zhì),0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白質(zhì),0.14kg脂肪,花費(fèi)28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白質(zhì),0.07kg脂肪,花費(fèi)21元.為了滿足營(yíng)養(yǎng)專家指出的日常飲食要求,同時(shí)使花費(fèi)最低,每天需要同時(shí)食用食物A和食物B多少kg?最低花費(fèi)是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義域?yàn)椋?,+∞)的函數(shù)f(x)滿足:
①x>1時(shí),f(x)<0;
②f( )=1;
③對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y).
(1)求證:f( )=﹣f(x);
(2)求證:f(x)在定義域內(nèi)為減函數(shù);
(3)求滿足不等式f(log0.5m+3)+f(2log0.5m﹣1)≥﹣2的m集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0),右頂點(diǎn)為( ,0)
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l:y=kx+ 與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且 >2(其中O為原點(diǎn)).求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐A﹣BCDE中,底面BCDE為平行四邊形,平面ABE⊥平面BCDE,AB=AE,DB=DE,∠BAE=∠BDE=90°
(1)求異面直線AB與DE所成角的大小;
(2)求二面角B﹣AE﹣C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:函數(shù)f(x)=logax在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù);命題q:不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立.若p∨q為真命題,且p∧q為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|lgx|﹣( )x有兩個(gè)零點(diǎn)x1 , x2 , 則有( )
A.x1x2<0
B.x1x2=1
C.x1x2>1
D.0<x1x2<1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+2x+x﹣1,若f(x2﹣4)<2,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是( )
A.(﹣2,2)
B.(2, )
C.(﹣ ,﹣2)
D.(﹣ ,﹣2)∪(2, )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱 中,底面 是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形, 為 的中點(diǎn).
(1)求證: 平面 ;
(2)若四邊形 是正方形,且 , 求直線 與平面 所成角的正弦值.
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