Question

7．已知f（x）是定義在（-$\frac{π}{2}$，0）$∪（0，\frac{π}{2}）$上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x$∈（0，\frac{π}{2}）$時(shí)，f′（x）tanx-$\frac{f（x）}{co{s}^{2}x}$＞0，且f（$\frac{π}{4}$）=0，則使不等式f（x）$＜\sqrt{3}f（\frac{π}{6}）$tanx成立的x的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{π}{2}，-\frac{π}{6}$）∪（$\frac{π}{6}，\frac{π}{2}$）
• B． （-$\frac{π}{6}，0$）∪（0，$\frac{π}{6}$）
• C． （-$\frac{π}{6}，0$）∪（$\frac{π}{6}，\frac{π}{2}$）
• D． （-$\frac{π}{2}，-\frac{π}{6}$）∪（0，$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 構(gòu)造新函數(shù)g（x），通過求導(dǎo)結(jié)合函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，從而求出x的范圍．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{tanx}$，則g′（x）=$\frac{f′（x）tanx-\frac{f（x）}{{cos}^{2}x}}{{tan}^{2}x}$，
而當(dāng)x$∈（0，\frac{π}{2}）$時(shí)，f′（x）tanx-$\frac{f（x）}{co{s}^{2}x}$＞0，tan²x＞0，
∴當(dāng)x$∈（0，\frac{π}{2}）$時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在x$∈（0，\frac{π}{2}）$時(shí)遞增；
∵f（x）是定義在（-$\frac{π}{2}$，0）$∪（0，\frac{π}{2}）$上的奇函數(shù)，
∴g（x）是定義在（-$\frac{π}{2}$，0）$∪（0，\frac{π}{2}）$上的偶函數(shù)，
∴g（x）在（-$\frac{π}{2}$，0）是遞減，
不等式f（x）$＜\sqrt{3}f（\frac{π}{6}）$tanx成立，
即$\frac{f（x）}{tanx}$＜$\frac{f（\frac{π}{6}）}{tan\frac{π}{6}}$=$\frac{f（-\frac{π}{6}）}{tan（-\frac{π}{6}）}$，
∴0＜x＜$\frac{π}{6}$或-$\frac{π}{6}$＜x＜0，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，三角函數(shù)問題，構(gòu)造出函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{tanx}$是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．