Question

17．已知$\overrightarrow{a}$=（3cosα，3sinα），向量$\overrightarrow$=（4cosβ，4sinβ），|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2$\sqrt{7}$，求向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角θ以及（2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$）（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）的值．

Answer 1

分析 首先求出兩個(gè)向量的模以及數(shù)量積，通過|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2$\sqrt{7}$兩邊平方，求出數(shù)量積，利用數(shù)量積公式求夾角以及（2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$）（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）的值．

解答 解：因?yàn)?\overrightarrow{a}$=（3cosα，3sinα），向量$\overrightarrow$=（4cosβ，4sinβ），
所以|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow$|=4，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=12sin（α+β），
|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=4${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=28，
即36+16+48sin（α+β）=28，所以sin（α+β）=-$\frac{1}{2}$，
所以向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角θ的余弦值為cosθ=$-\frac{1}{2}$，θ=120°；
（2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$）（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=6${\overrightarrow{a}}^{2}$-4${\overrightarrow}^{2}$-10$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=54-64+60=50．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積公式求平面向量的夾角以及平面向量的運(yùn)算，關(guān)鍵是熟練運(yùn)用公式．