Question

3．拋物線C：y²=2px（p＞0）橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離為5．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)直線y=kx+b與C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且|x₁-x₂|=$\frac{a}{k}$，（a＞0，a為常數(shù)），證明：a²k²=16（1-kb）

Answer 1

分析 （1）依題意得：4+$\frac{1}{2}$p=5，解方程求出p值，可得求拋物線C的方程；
（2）聯(lián)立直線和拋物線的方程得：ky²-4y+4b=0，由韋達(dá)定理得：y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁•y₂=$\frac{4b}{k}$．由x₁-x₂|=$\frac{a}{k}$，得|y₁-y₂|=a，得（y₁+y₂）²-4y₁•y₂=a²，整理得a²k²=16（1-kb）．

解答 （1）解：依題意得：4+$\frac{1}{2}$p=5，解得p=2．
所以拋物線方程為y²=4x．
（2）證明：直線y=kx+b與C聯(lián)立，消去x得：ky²-4y+4b=0．
依題意可知：k≠0．
由韋達(dá)定理得：y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁•y₂=$\frac{4b}{k}$．
由|x₁-x₂|=$\frac{a}{k}$，得|y₁-y₂|=a，得（y₁+y₂）²-4y₁•y₂=a²，
即$\frac{16}{{k}^{2}}-\frac{16b}{k}$=a²，整理得-16kb=a²k²，
所以a²k²=16（1-kb）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線的關(guān)系，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，熟練掌握拋物線的基本性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．