Question

14．若函數(shù)f（x）=log₄（x+$\sqrt{{x}^{2}{+2a}^{2}}$）是奇函數(shù)，則a=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可．

解答 解：∵f（x）=log₄（x+$\sqrt{{x}^{2}{+2a}^{2}}$）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
即log₄（-x+$\sqrt{{x}^{2}{+2a}^{2}}$）+log₄（x+$\sqrt{{x}^{2}{+2a}^{2}}$）=log₄（-x+$\sqrt{{x}^{2}{+2a}^{2}}$）（x+$\sqrt{{x}^{2}{+2a}^{2}}$）=log₄（x²+2a²-x²）=log₄（2a²）=0
即2a²=1，a²=$\frac{1}{2}$，
解得a=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$±\frac{\sqrt{2}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷和應(yīng)用，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．