Question

在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意相鄰三點(diǎn)都不共線(xiàn)的有序整點(diǎn)列（整點(diǎn)即橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）A（n）：A₁，A₂，A₃，…，A_n與B（n）：B₁，B₂，B₃，…，B_n，其中n≥3，若同時(shí)滿(mǎn)足：
①兩點(diǎn)列的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同；
②線(xiàn)段A_iA_i+1⊥B_iB_i+1，其中i=1，2，3，…，n-1，則稱(chēng)A（n）與B（n）互為正交點(diǎn)列．
（Ⅰ）求A（3）：A₁（0，2），A₂（3，0），A₃（5，2）的正交點(diǎn)列B（3）；
（Ⅱ）判斷A（4）：A₁（0，0），A₂（3，1），A₃（6，0），A₄（9，1）是否存在正交點(diǎn)列B（4）？并說(shuō)明理由；
（Ⅲ）?n≥5，n∈N，是否都存在無(wú)正交點(diǎn)列的有序整點(diǎn)列A（n）？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）由正交點(diǎn)列的定義可知B₁（0，2），B₃（5，2），設(shè)B₂（x，y），由正交點(diǎn)列的定義可知
 

A1A2

•

B1B2

=0，

A2A3

•

B2B3

=0，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)列B₁，B₂，B₃，B₄是點(diǎn)列A₁，A₂，A₃，A₄的正交點(diǎn)列，則可設(shè)

B1B2

=λ1(-1，3)，

B2B3

=λ2(1，3)，

B3B4

=λ3(-1，3)，λ₁，λ₂，λ₃∈Z，因?yàn)锳₁與B₁，A₄與B₄相同，即可得到結(jié)論；
（Ⅲ）?n≥5，n∈N，都存在整點(diǎn)列A（n）無(wú)正交點(diǎn)列．設(shè)

AiAi+1

=(ai，bi)，其中a_i，b_i是一對(duì)互質(zhì)整數(shù)，i=1，2，3…，n-1，則有

n-1 i=1 (-λibi)= n-1 1 ai(1) n-1 i=1 λiai= n-1 i=1 bi(2)

，分類(lèi)討論，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)列A₁（0，2），A₂（3，0），A₃（5，2）的正交點(diǎn)列是B₁，B₂，B₃，
由正交點(diǎn)列的定義可知B₁（0，2），B₃（5，2），
設(shè)B₂（x，y），

A1A2

=(3，-2)，

A2A3

=(2，2)，

B1B2

=(x，y-2)，

B2B3

=(5-x，2-y)，
由正交點(diǎn)列的定義可知 

A1A2

•

B1B2

=0，

A2A3

•

B2B3

=0，
即

3x-2(y-2)=0 2(5-x)+2(2-y)=0

，解得

x=2 y=5

所以點(diǎn)列A₁（0，2），A₂（3，0），A₃（5，2）的正交點(diǎn)列是B₁（0，2），B₂（2，5），B₃（5，2）．（3分）
（Ⅱ）由題可得 

A1A2

=(3，1)，

A2A3

=(3，-1)，

A3A4

=(3，1)，
設(shè)點(diǎn)列B₁，B₂，B₃，B₄是點(diǎn)列A₁，A₂，A₃，A₄的正交點(diǎn)列，
則可設(shè)

B1B2

=λ1(-1，3)，

B2B3

=λ2(1，3)，

B3B4

=λ3(-1，3)，λ₁，λ₂，λ₃∈Z
因?yàn)锳₁與B₁，A₄與B₄相同，所以有

-λ1+λ2-λ3=0(1) 3λ1+3λ2+3λ3=1(2)

因?yàn)棣?SUB>1，λ₂，λ₃∈Z，方程（2）顯然不成立，
所以有序整點(diǎn)列A₁（0，0），A₂（3，1），A₃（6，0），A₄（9，1）不存在正交點(diǎn)列；------------（8分）
（Ⅲ）?n≥5，n∈N，都存在整點(diǎn)列A（n）無(wú)正交點(diǎn)列．-------------------------（9分）
?n≥5，n∈N，設(shè)

AiAi+1

=(ai，bi)，其中a_i，b_i是一對(duì)互質(zhì)整數(shù)，i=1，2，3…，n-1
若有序整點(diǎn)列B₁，B₂，B₃，…B_n是點(diǎn)列A₁，A₂，A₃，…A_n正交點(diǎn)列，
則

BiBi+1

=λi(-bi，ai)，i=1，2，3，…，n-1，
則有

n-1 i=1 (-λibi)= n-1 1 ai(1) n-1 i=1 λiai= n-1 i=1 bi(2)

①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，取A₁（0，0），ai=3，bi=

1，i為奇數(shù) -1，i為偶數(shù)

，i=1，2，3，…，n-1．
由于B₁，B₂，B₃，…B_n是整點(diǎn)列，所以有λ_i∈Z，i=1，2，3，…，n-1．
等式（2）中左邊是3的倍數(shù)，右邊等于1，等式不成立，
所以該點(diǎn)列A₁，A₂，A₃，…A_n無(wú)正交點(diǎn)列；
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，取A₁（0，0），a₁=3，b₁=2，ai=3，bi=

1，i為奇數(shù) -1，i為偶數(shù)

，i=2，3，…，n-1，
由于B₁，B₂，B₃，…B_n是整點(diǎn)列，所以有λ_i∈Z，i=1，2，3，…，n-1．
等式（2）中左邊是3的倍數(shù)，右邊等于1，等式不成立，
所以該點(diǎn)列A₁，A₂，A₃，…A_n無(wú)正交點(diǎn)列．
綜上所述，?n≥5，n∈N，都不存在無(wú)正交點(diǎn)列的有序整數(shù)點(diǎn)列A（n）----------（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查新定義，考查向量知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度大．