Question

18．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁內(nèi)接于球O，若AB=3，AA₁=2，則球O的體積為（　�。�

• A． $\frac{4π}{3}$
• B． 16π
• C． $\frac{32π}{3}$
• D． $\frac{8π}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)對稱性，可得球心O到正三棱柱的底面的距離為1，球心O在底面ABC上的射影為底面的中心O'，求出O'A，由球的截面的性質(zhì)，求得半徑OA，再由球的體積公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：根據(jù)對稱性，可得球心O到正三棱柱的底面的距離為1，
球心O在底面ABC上的射影為底面的中心O'，
則O'A=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由球的截面的性質(zhì)，可得，OA²=OO'²+O'A²，
則有OA=$\sqrt{OO{′}^{2}+O'{A}^{2}}$=$\sqrt{1+3}$=2，
則球O的體積為$\frac{4}{3}$π•OA³=$\frac{32}{3}π$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查球的截面的性質(zhì)，考查球與正三棱柱的關(guān)系，考查球的體積運(yùn)算，屬于中檔題．